\documentclass[11pt,a4paper]{report}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{eucal}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{tikz}
\usepackage{enumerate}
%\usepackage{enumitem}
%\usepackage{paralist}

\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\DeclareMathOperator{\dv}{div}
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}

\newcommand{\ii}{{\rm i}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\F}{\ensuremath{\mathbb{F}}}
\newcommand{\ce}[1]{\ensuremath{\left(#1 \right)}}
\newcommand{\cce}[1]{\ensuremath{\left[#1 \right]}}



\newtheorem{veta}{Věta}
\newtheorem{lemma}[veta]{Lemma}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{definice}{Definice}
\newtheorem*{dusl}{Důsledek}
\newtheorem*{pr}{Příklad}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{pozn}{Poznámka}

\overfullrule=2cm

\begin{document}
\vspace*{-3em}
\begin{minipage}[b]{0.3\textwidth}
M8195 \hfill \phantom{.}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{0.35\textwidth}
\phantom{.}\hfill Úloha č. 2 \hfill \phantom{.}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{0.3\textwidth}
\phantom{.} \hfill Dominik Velan
\end{minipage}
\vspace{-1em}
\vphantom{.}\hrulefill\\
\begin{definice}
Buď $R$ obor integrity, $D$ pologrupa s jednoznačným rozkladem. Řekneme, že homomorfimsus pologrup $\delta \colon R^* \to D$ je \emph{teorií divizorů} oboru integrity $R$, jestliže
\begin{enumerate}
\item $\forall \alpha, \beta \in R^*$ platí $\alpha \mid \beta$ v $R$ právě tehdy, když $\delta(\alpha) \mid \delta(\beta)$ v $D$; \label{def1}
\item $\forall \alpha, \beta \in R^*$ a libovolné $c \in D$ splňující $c \mid \delta(\alpha)$, $c \mid \delta(\beta)$ v $D$ platí
\begin{align*}
\alpha + \beta \neq 0 \quad &\Rightarrow \quad c \mid \delta(\alpha+\beta),\\
\alpha - \beta \neq 0 \quad &\Rightarrow \quad c \mid \delta(\alpha - \beta);
\end{align*} \label{def2}
\item $\forall a,b \in D$ platí $\{\alpha \in R^* ; ~ a \mid \delta(\alpha)\} = \{\beta \in R^* ; ~ b \mid \delta(\beta)\} \Rightarrow a=b$. \label{def3}
\end{enumerate}
\end{definice}
\noindent
\vphantom{.}\hrulefill\\
\vspace*{-2em}
\begin{enumerate}[(i)]
\item Dokažte, že podmínka~\ref{def3} je ekvivalentní s podmínkou: pro libovolné $a \in D$ existují $\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_n \in R^*$ takové, že $a$ je největší společný dělitel prvků $\delta(\alpha_0), \delta(\alpha_1), \dots, \delta(\alpha_n)$. \label{proof1}
\item Dokažte, že platí-li pro homomorfismus $\delta$ podmínka~\ref{def3}, pak pro libovolné $b \in D$ existují $\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_n, \gamma \in R^*$, že $b\delta(\gamma)$ je nejmenší společný násobek prvků $\delta(\beta_0), \delta(\beta_1), \dots, \delta(\beta_n)$.\label{proof2}
\item Dokažte, že podmínka~\ref{def2} je důsledek podmínek~\ref{def1} a~\ref{def3}.
\end{enumerate}
\vspace*{-1.5em}
\vphantom{.}\hrulefill\\
\vspace*{-1.5em}
\begin{enumerate}[(i)]
\item \uv{$\Rightarrow$}: předpokládejme, že platí podmínka~(\ref{def3}).
\begin{itemize}
\item Ukažme, že pro libovolné $a \in D$ existuje $\alpha_0 \in R^*$ takové, že $a \mid \delta(\alpha_0)$. Pokud žádné takové $\alpha_0$ neexistuje, pak jistě $a \neq 1$, proto $a^2 \neq a$. Pro libovolné $\alpha \in R^*$ platí, že pokud $a^2 \mid \delta(\alpha)$, pak jistě $a \mid \delta(\alpha)$. Odtud $\emptyset = \{\alpha \in R^*; ~ a \mid \delta(\alpha)\} \supseteq \{\alpha \in R^* ;~ a^2 \mid \delta(\alpha)\}$. Pak ale podle podmínky~\ref{def3} platí $a^2 = a$, což je spor.
\item Uvažme rozklad $\delta(\alpha_0)$ na prvodivizory: $\delta(\alpha_0) = p_1^{k_1} \dots p_n^{k_n}$, kde $p_1, \dots, p_n$ jsou různé prvodivizory, $k_1, \dots, k_n \in \N$. 
\item Ukažme, že pro libovolné $i \in \{1,\dots,n\}$ existuje $\alpha_i \in R^*$ takové, že $a \mid \delta(\alpha_i)$ a zároveň $ap_i \nmid \delta(\alpha_i)$. Úvahami jako výše dostáváme $\{\alpha \in R^*; ~  a \mid \delta(\alpha)\} \supsetneq \{\alpha \in R^*; ~  ap_i \mid \delta(\alpha)\}$. Množina $\{\alpha \in R^*; ~  a \mid \delta(\alpha)\} \setminus \{\alpha \in R^*; ~  ap_i \mid \delta(\alpha)\}$ je tedy neprázdná. Uvažme $\alpha_i$ její libovolný prvek.
\item Ukažme, že $a = \gcd(\delta(\alpha_0), \delta(\alpha_1), \dots, \delta(\alpha_n))$. Jistě $a \mid \delta(\alpha_j)$ pro $j \in \{0, 1\dots, n\}$ (tak jsme $\alpha_i$ konstruovali), $a$ je tedy společný dělitel. Buď $b$ libovolný jiný dělitel a $q$ libovolný prvodivizor v~rozkladu $b$ na prvodivizory. Pak $q \mid b$ a $b \mid \delta(\alpha_0) = \prod_{i=1}^n p_i^{k_i}$, tj. $q = p_i$ pro vhodné $i \in \{1,\dots,n\}$. Uvažme $a = \prod_{i=1}^n p_i^{l_i}$ a $b = \prod_{i=1}^n p_i^{m_i}$, kde $l_1,\dots,l_n,m_1,\dots,m_n \in \N_0$. Chceme ukázat, že pro každé $i \in \{1,\dots,n\}$ platí $l_i \geq m_i$. Protože $a \mid \delta(\alpha_i)$ a zároveň $ap_i \nmid \delta(\alpha_i)$, platí $\delta(\alpha_i) = p_i^{l_i} \cdot \bar{a}$, kde $p_i \nmid \bar{a}$. Protože také $b \mid \delta(\alpha_i)$ je nutně $m_i \leq l_i$. Celkem $b \mid a$.
\end{itemize}
\uv{$\Leftarrow$}: předpokládejme, že pro libovolné $a \in D$ existují prvky $\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n \in R^*$ takové, že $a = \gcd(\delta(\alpha_0),\delta(\alpha_1),\dots,\delta(\alpha_n))$.

Nechť $M = \{\alpha \in R^* ; ~ a \mid \delta(\alpha)\} = \{\beta \in R^* ; ~ b \mid \delta(\beta)\}$. Víme, že $a = \gcd(\delta(\alpha_0),\dots,\delta(\alpha_n))$ a $b = \gcd(\delta(\beta_0), \dots, \delta(\beta_m))$. Jistě $\alpha_0,\dots,\alpha_n \in M$ (jejich obrazy jsou dělitelné prvkem $a$) a $\beta_0,\dots,\beta_m \in M$ (jejich obrazy jsou dělitelné $b$). Protože $\beta_i \in M$ platí $a \mid \delta(\beta_i)$, podobně $b \mid \alpha_j$. Pak ale platí $a = \gcd(\alpha_0,\dots,\alpha_n,\beta_0,\dots,\beta_m) = b$, tedy $a=b$.
\item \begin{itemize}
\item Ukažme, že pro libovolné $b \in D$ existují $\rho \in R^*$ a $c \in D$ tak, že $bc = \delta(\rho)$. Je-li $b = 1$, pak $c=\delta(\rho)$. V opačném případě $b \neq b^2$ a z podmínky~\ref{def3} platí $\{\alpha \in R^*; ~ b \mid \delta(\alpha)\} \neq \{\beta \in R^*;~ b^2 \mid \delta(\beta)\}$. Přitom pro každé $\alpha \in R^*$ platí, že pokud $b^2 \mid \delta(\alpha)$, pak $b \mid \delta(\alpha)$, proto mezi těmito množinami platí ostrá inkluze $\supset$. Množina $\{\alpha \in R^*; ~ b \mid \delta(\alpha)\}$ je tedy neprázdná. Buď $\rho$ její libovolný prvek, tj. $b \mid \delta(\rho)$. Z definice dělitelnosti existuje $c \in D$ takové, že $bc = \delta(\rho)$.
\item Z~části~(\ref{proof1}) máme, že $c = \gcd(\delta(\alpha_0),\delta(\alpha_1),\dots,\delta(\alpha_n))$ pro vhodná $\alpha_0,\dots,\alpha_n \in R^*$. Označme $\gamma = \prod\limits_{j=0}^n \alpha_j$. Pro každé $i=0,1,\dots,n$ dále označme $\beta_i = \rho \prod\limits_{\begin{subarray}{c} 0 \leq j \leq n\\ j\neq i \end{subarray}} \alpha_j = \rho \gamma / \alpha_i$.
\item Ukažme, že $b\delta(\gamma)$ je nejmenší společný násobek $\delta(\beta_0),\delta(\beta_1),\dots,\delta(\beta_n)$. Připomeňme vztahy
\begin{align*}
bc &= \delta(\rho), 				& 	 c &= \gcd(\delta(\alpha_0),\delta(\alpha_1),\dots,\delta(\alpha_n)),\\
\gamma &= \prod_{j=0}^n \alpha_j,	& 	\alpha_i\beta_i &= \rho\gamma.
\end{align*}
%Nejprve chceme ukázat, že se jedná o společný násobek, tj. $\delta(\beta_i) \mid b\delta(\gamma)$. Chceme $\delta(\alpha_i)\delta(\beta_i) = \delta(\rho)\delta(\gamma) \mid \delta(\alpha_i) b \delta(\gamma)$, tj. $\delta(\rho) \mid \delta(\alpha_i)b$. Víme, že $\delta(\rho) = bc$, kde $c \mid \delta(\alpha_i)$. Tedy existuje $d_i$ takové, že $c d_i = \delta(\alpha_i)$. Odtud
%\[
%d_i \cdot \underline{\delta(\alpha_i) \cdot \delta(\beta_i)} = d_i \cdot \underline{\delta(\rho)} \cdot \delta(\gamma) = \underline{d_i} \cdot b \cdot \underline{c} \cdot \delta(\gamma) = \delta(\alpha_i) \cdot b \cdot \delta(\gamma).
%\]
%Protože jsme v pologrupě s jednoznačným rozkladem, platí $d_i \delta(\beta_i) = b\delta(\gamma)$, tj. $\delta(\beta_i) \mid b\delta(\gamma)$. Zbývá ukázat, že tento násobek je nejmenší. 
Uvažme všechny prvodivizory $p_1,\dots,p_m$, které se vyskytují v rozkladu všech $\delta(\alpha_i)$ a $b$. Označme
\[
\delta(\alpha_i) = \prod_{j=1}^m p_j^{k_j^i}, \quad b = \prod_{j=1}^m p_j^{l_j}.
\]
pro $l_j, k_j^i \in \N_0$, $j \in \{1,\dots,m\}$ a $i \in \{0,1,\dots,n\}$.
Pak platí
\[
c = \prod_{j=1}^m p_j^{\min_{0\leq h \leq n} k_j^h}, \quad \delta(\gamma) = \prod_{j=1}^m p_j^{\sum_{h=0}^n k_j^h}, \quad \delta(\beta_i) = \prod_{j=1}^m p_j^{l_j + \min_{0 \leq h \leq n} k_j^h + \sum_{h=0}^n k_j^h - k_j^i}.
\]
Nejmenší společný násobek všech $\delta(\beta_i)$ splní, že maximalizuje exponent pro každé $p_j$. Jediný člen v exponentu závislý na $i$ je $-k_j^i$. Maximální exponent u $p_j$ nastává u toho $\delta(\beta_i)$, kde $k_j^i = \min_{0\leq h\leq n} k_j^h$. Nejmenší společný násobek je pak tvaru
\[
\prod_{j=1}^m p_j^{l_j + \sum_{h=0}^n k_j^h} = b \cdot \delta(\gamma),
\]
což jsme chtěli ukázat.
 \end{itemize}
\item Nechť $c \mid \delta(\alpha)$, $c \mid \delta(\beta)$. Z předchozího víme, že pro $c$ existují $\beta_0,\dots,\beta_n,\gamma \in R^*$ takové, že $c\delta(\gamma)$ je nejmenší společný násobek $\delta(\beta_0),\dots,\beta_n$. Tedy $\delta(\beta_i) \mid c \cdot \delta(\gamma)$. Odutd $\delta(\beta_i) \mid \delta(\gamma) \delta(\alpha)$ a $\delta(\beta_i) \mid \delta(\gamma) \delta(\beta)$. Použitím definiční vlastnosti~(\ref{def1}) dostáváme $\beta_i \mid \alpha \gamma$ a $\beta_i \mid \beta\gamma$. Existují tedy $\mu_i$ a $\nu_i$ takové, že $\mu_i \beta_i = \alpha\gamma$ a $\nu_i\beta_i = \beta\gamma$. Pak $(\mu_i \pm \nu_i) \beta_i = (\alpha \pm \beta) \gamma$. Pokud $\alpha \pm \beta \neq 0$, je $\mu_i \pm \nu_i \in R^*$. Dostáváme $\beta_i \mid (\alpha \pm \beta) \gamma$. Použitím~(\ref{def1}) (či toho, že $\delta$ je homomorfismus) máme $\delta(\beta_i) \mid \delta((\alpha \pm \beta) \gamma)$ pro každé $i \in \{0,\dots,n\}$. Tedy $\delta((\alpha\pm\beta)\gamma)$ je společný násobek $\delta(\beta_0), \dots, \delta(\beta_n)$. Protože $c \delta(\gamma)$ je nejmenší společný násobek, platí $c \delta(\gamma) \mid \delta(\alpha \pm \beta) \delta(\gamma)$, tedy $c \mid \delta(\alpha \pm \beta)$, což jsme chtěli dokázat.
\end{enumerate}
\end{document}