\documentclass[11pt,a4paper]{report}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{eucal}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{tikz}
%\usepackage{enumerate}
\usepackage{enumitem}
%\usepackage{paralist}

\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\DeclareMathOperator{\dv}{div}
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}

\newcommand{\ii}{{\rm i}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\F}{\ensuremath{\mathbb{F}}}
\newcommand{\ce}[1]{\ensuremath{\left(#1 \right)}}
\newcommand{\cce}[1]{\ensuremath{\left[#1 \right]}}



\newtheorem{veta}{Věta}
\newtheorem{lemma}[veta]{Lemma}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definice}[veta]{Definice}
\newtheorem*{dusl}{Důsledek}
\newtheorem*{pr}{Příklad}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{pozn}{Poznámka}

\overfullrule=2cm

\begin{document}
\begin{minipage}[b]{0.3\textwidth}
M8195 \hfill \phantom{.}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{0.35\textwidth}
\phantom{.}\hfill Úloha č. 1 \hfill \phantom{.}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{0.3\textwidth}
\phantom{.} \hfill Dominik Velan
\end{minipage}
\vspace{-1em}
\vphantom{.}\hrulefill\\
\begin{enumerate}
\item Nechť $K$ je těleso a $R$ jeho podokruh takový, že pro každé $\alpha \in K$, $\alpha \neq 0$ platí\\
$\{\alpha,\alpha^{-1}\} \cap R \neq \emptyset$. Dokažte, že okruh $R$ je celouzavřený v $K$.
\item Nechť $K$ je těleso a $I$ neprázdná množina indexů taková, že pro každé $i \in I$ je dán podokruh $R_i$ tělesa $K$, který je v tělese $K$ celouzavřený. Dokažte, že průnik $\cap_{i \in I} R_i$ je celouzavřený v $K$.
\item Nalezněte celý uzávěr okruhu $\Z$ v tělese $\Q(\sqrt2)$.
\end{enumerate}
\vspace*{-2em}
\vphantom{.}\hrulefill\\
\begin{enumerate}
\item Buď $\alpha \in K$ libovolný prvek takový, že je kořenem vhodného normovaného polynomu z $R[t]$. Chceme ukázat, že pak $\alpha \in R$. Víme, že $\{\alpha,\alpha^{-1}\} \cap R \neq \emptyset$. Je-li $\alpha \in R$ jsme hotovi. Nechť tedy $\alpha^{-1} \in R$. Protože $\alpha$ je kořenem normovaného polynomu z $R[t]$, existují $n \in \N$ a $a_0, \dots, a_{n-1} \in R$ takové, že
\[
\alpha^n = a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + \dots + a_1 \cdot \alpha^1 + a_0.
\]
Vynásobením $\alpha^{-(n-1)} \in R$ dostáváme
\[
\alpha = a_{n-1} + \dots + a_1 \cdot \alpha^{1-(n-1)} + a_0 \cdot \alpha^{-(n-1)}.
\]
Všechny sčítance na pravé straně jsou prvky $R$, proto též $\alpha \in R$.
\item Jistě průnik okruhů je okruh. Buď $\alpha \in K$ libovolný prvek takový, že je kořenem vhodného normovaného polynomu $f \in \cap_{i \in I} R_i [t]$. Jistě zároveň $f \in R_i[t]$ pro každé $i \in I$. Protože $R_i$ je celouzavřený v $K$, je $\alpha \in R_i$ pro každé $i \in I$. Pak ale také $\alpha \in \cap_{i \in I} R_i$. Odtud plyne, že $\cap_{i \in I} R_i$ je celouzavřený v $K$.
\item Víme, že $\Q(\sqrt2) = \{a + b\sqrt2 \mid a,b \in \Q\}$. Využijeme důsledku ze semináře.
\begin{dusl}
Nechť $R$ je celouzavřený obor integrity, $k$ jeho podílové těleso. Nechť $K/k$ je algebraické rozšíření. Pak pro libovolné $\alpha \in K$ platí
\[
\alpha \text{ je celé nad } R \quad \Leftrightarrow \quad \text{minimální polynom } f \in k[t] \text{ prvku } \alpha \text{ leží v } R[t].
\]
\end{dusl}
Buď $\alpha = a+b\sqrt2$.
\begin{itemize}
\item $b = 0$, pak minimální polynom $\alpha$ je $t-a$, přitom $t-a \in \Z[t] \Leftrightarrow a \in \Z$.
\item $b \neq 0$, pak minimální polynom $\alpha$ je $(t-(a+b\sqrt2))\cdot (t - (a-b\sqrt2)) = (t-a)^2 - 2b^2 = t^2 - 2at + a^2-2b^2$. Chceme určit, pro která $a,b \in \Q$ platí $2a \in \Z$ a $a^2 - 2b^2 \in \Z$.\\

Nechť tedy $2a \in \Z$ a $a^2 - 2b^2 \in \Z$.
Protože $(2a)^2 = 4a^2 \in \Z$, máme $4(a^2-2b^2)-4a^2 = -8b^2 \in \Z$. Nutně $2a, 2b \in \Z$. Jistě $a \in \Z$ právě tehdy, když $b \in \Z$ (jinak nemůže být $a^2 - 2b^2 \in \Z$). Zbývá rozmyslet, zda může nastat $2a = m$ a $2b = n$, kde $2 \nmid mn$. Pak ale $4 (a^2 - 2b^2) = m^2 - 2n^2 \equiv -1 \pmod{4}$, tedy $a^2 - 2b^2 \notin \Z$.
\end{itemize}
Celý uzávěr okruhu $\Z$ v tělese $\Q(\sqrt2)$ je okruh $\Z[\sqrt2] = \{a+b\sqrt2 \mid a,b \in \Z\}$.
\end{enumerate}

\end{document}