\documentclass[12pt]{book}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{opakuj}
\usepackage{pgf,tikz}


\usetikzlibrary{arrows}
\parindent=0mm
\usepackage{amsthm}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{definice}{Definice}
\newtheorem*{du}{Domácí úloha}
\newtheorem{prikl}{Příklad}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{pozn}{Poznámka}

\definecolor{qqzzqq}{rgb}{0.,0.6,0.}
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0.}
\definecolor{wwwwww}{rgb}{0.4,0.4,0.4}

\begin{document}
%\pagestyle{empty}
\chapter*{Geometrie}


\begin{prikl}
Nechť je dán tečnový čtyřúhelník $ABCD$. Dokažte, že kružnice vepsaná trojúhelníku $ABC$ a kružnice vepsaná trojúhelníku $ACD$ mají společný dotyk.
\end{prikl}
\begin{proof}[Řešení]
Kružnice vepsaná trojúhelníku $ABC$ se dotýká úsečky $AC$ v bodě $T_1$ a kružnice vepsaná trojúhelníku $ACD$ se dotýká úsečky $AC$ v bodě $T_2$. Chceme ukázat, že $T_1 = T_2$. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že $|CT_1| \geq |CT_2|$. Platí
\begin{gather*}
|AD| = |CD| - |CT_2| + |AT_2|,\\
|BC| = |AB| - |AT_1| + |CT_1|,\\
|T_1T_2| = |CT_1| - |CT_2| = |AT_2| - |AT_1|.
\end{gather*}
Dohromady máme
\[ |T_1T_2| = \dfrac{1}{2}(|AD| + |BC| - |CD| - |AB|).  \]
Čtyřúhelník je tečnový, a proto 
\[ |AB| + |CD| =|AD| + |BC|, \]
a tedy $|T_1T_2| = 0$.
\end{proof}

\begin{prikl}
Protilehlé strany $AB$ a $DE$, $BC$ a $EF$, $CD$ a $FA$ konvexního šestiúhelníka jsou rovnoběžné. Dokažte, že trojúhelníky $ACE$ a $BDF$ mají shodný obsah.
\end{prikl}
\begin{proof}[Řešení]
Nejprve vyjádříme obsah trojúhelníka $ACE$. Uvnitř šestiúhelníka vyznačme body $P, Q, R$ a to tak, že $EC$ je úhlopříčkou v rovnoběžníku $EDCQ$, $AC$ je úhlopříčkou v rovnoběžníku $ABCP$ a $EA$ je úhlopříčkou v rovnoběžníku $AREF$. Pak platí
\[ |ACE| = \dfrac{|ABCDEF| - |PQR|}{2} + |PQR| = \dfrac{|ABCDEF| + |PQR|}{2}. \]
Obsah trojúhelníka $BDF$ spočítáme obdobným způsobem. Uvnitř šestiúhelníka vyznačme body $S, T, U$ a to tak, že $FB$ je úhlopříčkou v rovnoběžníku $ABSF$, $BD$ je úhlopříčkou v rovnoběžníku $BCDT$ a $FD$ je úhlopříčkou v rovnoběžníku $FUDE$. Pak
\[ |BDF| = \dfrac{|ABCDEF| + |STU|}{2}. \]
Protože platí
\begin{gather*}
|PQ| = \bigl| |AB| - |ED| \bigr| = |SU|,\\
|QR| = \bigl| |CD| - |AF| \bigr| = |ST|,\\
|PR| = \bigl| |BC| - |EF| \bigr| = |TU|,
\end{gather*}
jsou trojúhelníky $PQR$ a $STU$, a proto $|ACE| = |BDF|$.
\end{proof}

\begin{prikl}
Nechť je dán trojúhelník $ABC$. Na stranách $BC$, $AC$, $AB$ jsou zvoleny body $A_1$, $B_1$ a $C_1$ tak, že se přímky $AA_1$, $BB_1$ a $CC_1$ protínají v jednom bodě. Označme $M$ patu kolmice z bodu $A_1$ na $B_1C_1$. Dokažte, že $MA_1$ je osou úhlu $\angle BMC$.
\end{prikl}
\begin{proof}[Řešení]
Paty kolmic z vrcholů $A$, $B$, $C$ na stranu $B_1C_1$ označme po řadě $D$, $E$, $F$. Platí
\begin{gather*}
\dfrac{|AC_1|}{|C_1B|} = \dfrac{|AD|}{|BE|},\\
\dfrac{|CB_1|}{|B_1A|} = \dfrac{|CF|}{|AD|}.
\end{gather*}
Dohromady dostáváme
\begin{equation}\label{e1}
 \dfrac{|CB_1|}{|B_1A|} \cdot \dfrac{|AC_1|}{|C_1B|} = \dfrac{|CF|}{|BE|}.
\end{equation}
Podle Cevovy věty platí
\[ \dfrac{|CB_1|}{|B_1A|} \cdot \dfrac{|AC_1|}{|C_1B|} \cdot \dfrac{|BA_1|}{|A_1C|} = 1.\]
Dosazením do \eqref{e1} dostaneme
\[  \dfrac{|CF|}{|BE|} = \dfrac{|A_1C|}{|BA_1|}.  \]
Dále platí
\[ \dfrac{|A_1C|}{|BA_1|} = \dfrac{|MF|}{|EM|},\]
což znamená, že trojúhelníky $EBM$ a $FCM$ jsou podobné, a proto
\[ |\angle FMC| = |\angle EMB|. \]
\end{proof}

\begin{prikl}
Tětiva $CD$ kružnice se středem v bodě $O$ je kolmá na průměr $AB$ a zároveň tětiva $AE$ půlí úsečku $OC$. Dokažte, že tětiva $DE$ půlí tětivu $BC$.
\end{prikl}
\begin{proof}[Řešení]
Dokážeme obecnější tvrzení. Je-li $M$, resp. $N$ průsečík $AE$ a $OC$, resp. průsečík $DE$ a $BC$, pak \[ \dfrac{|CM|}{|CO|} = \dfrac{|CN|}{|CB|}.\]
Oblouky $AC$ a $AD$ jsou shodné, a proto $|\angle AEC| = |\angle AED|$. Dále $|\angle AEC| = |\angle ABC|$ a $|\angle ABC| = |\angle OCB|$, neboť trojúhelník $OCB$ je rovnoramenný. Z toho plyne, že $|\angle AED| = |\angle OCB|$, tedy $|\angle MEN| = |\angle MCN|$. To znamená, že body $M$, $N$, $E$ a $C$ leží na jedné kružnici. Odtud dostáváme, že $|\angle MNC| = |\angle MEC| = |\angle OBC|$. To znamená, že trojúhelníky $MNC$ a $MEC$ jsou podobné, a proto $ \frac{|CM|}{|CO|} = \frac{|CN|}{|CB|}$.
\end{proof}

\begin{prikl}
Nechť je dána půlkružnice s průměrem $AD$. Na této půlkružnici zvolme dva body $B$ a $C$ (různé od $A$ a $D$). Označme $E, F$ paty kolmic vedených na $AD$ po řadě z bodů $B$, $C$. Označme $P$ průsečík přímek $AB$ a $CD$. Dále označme $Q$ průsečík $BF$ a $EC$. Dokažte, že $PQ \perp AD$.
\end{prikl}
\begin{proof}[Řešení]
Platí $|\angle ABD| = |\angle ACD| = 90^{\circ}$. Na přímkách $BE$ a $CF$ vyznačme po řadě body $K, M$ a $L, N$ a to tak, že $KL$ prochází bodem $P$, $MN$ prochází bodem $Q$ a $KL \Vert MN \Vert AD$. Platí 
\begin{gather*}
KL = MN,\\
|\angle KBP| = |\angle EBA| = |\angle BDA| = |\angle BDE|,\\  
|\angle PCL| = |\angle DCF| = |\angle DCA| = |\angle FCA|. 
\end{gather*} 
Odtud dostáváme, že $\triangle BDE \sim \triangle PBK$ a $\triangle AFC \sim \triangle CLP$. Dále $\triangle APC \sim \triangle DPB$. Z toho plyne, že
\[ \dfrac{|KP|}{|BE|} = \dfrac{|BP|}{|BD|} = \dfrac{|CP|}{|CA|} = \dfrac{|PL|}{|CF|} \Rightarrow \dfrac{|KP|}{|PL|} = \dfrac{|BE|}{|CF|}. \] Z poslední rovnosti a podobnosti trojúhelníků $BQE$ a $CQF$ odvodíme, že
\[ \dfrac{|KP|}{|PL|} = \dfrac{|BE|}{|CF|} = \dfrac{|MQ|}{|QN|}, \]
odtud
\[ \dfrac{|EF|}{|PL|} = \dfrac{|KP| + |PL|}{|PL|} = \dfrac{|MQ| + |QN|}{|QN|} = \dfrac{|EF|}{|QN|}, \]
a tedy 
\[ |QN| = |PL|, \]
což jsme chtěli dokázat.
\end{proof}

\begin{prikl}
Je dán libovolný trojúhelník $ABC$. Označme jeho úhly obvyklým způsobem. Osy úhlů $\alpha, \beta, \gamma$ protínají kružnici opsanou po řadě v bodech $A_1, B_1, C_1$. Dokažte, že platí
\[ |AA_1| +|BB_1| + |CC_1| > |AB| + |AC| + |BC|. \]
\end{prikl}
\begin{proof}[Řešení]
Užitím Ptolemaiovy věty dostaneme
\begin{equation}\label{e2}
|AA_1|\cdot |BC| = |AB| \cdot |A_1C| + |A_1B| \cdot |AC|.
\end{equation} 
Dále platí
\[ |\angle CAA_1| = \dfrac{\alpha}{2} = |\angle A_1AB|, \]
a tedy $|A_1C| = |A_1B| = t$.
Dosazením do \eqref{e2} dostaneme
\[ 2|AA_1| = \dfrac{2t}{|BC|}\cdot (|AB| + |AC|) > |AB| + |AC|.  \]
Analogicky lze odvodit
\begin{gather*}
2|BB_1| > |AB| + |BC|,\\
2|CC_1| > |AC| + |BC|. 
\end{gather*}
Dohromady máme
\[ |AA_1| +|BB_1| + |CC_1| > \dfrac{|AB| + |AC|}{2} + \dfrac{|AB| + |BC|}{2}+ \dfrac{|AC| + |BC|}{2} = |AB| + |AC| + |BC|. \]
\end{proof}

\begin{prikl}
Kružnice $k$ se středem v bodě $O_1$ a kružnice $l$ se středem v bodě $O_2$ se protínají v bodech $A$ a $B$. Označme $E$, resp. $F$ průsečík polopřímky $O_2B$ s kružnicí $k$, resp. průsečík polopřímky $O_1B$ s kružnicí $l$. Přímka rovnoběžná s $EF$ procházející bodem $B$ protíná kružnici $k$ v bodě $M$ a kružnici $l$ v bodě $N$. Dokažte, že platí
\[ |MN| = |AE| + |AF|. \] 
\end{prikl}
\begin{proof}[Řešení]
Trojúhelníky $O_1EB$ a $O_2FB$ jsou podobné, a proto body $O_1$, $O_2$, $E$ a $F$ leží na jedné kružnici. Bod $A$ také leží na této kružnici, neboť
\[ |\angle O_1EO_2| + |\angle O_1AO_2| = |\angle O_1BE| + |\angle O_1BO_2| = 180^{\circ}. \]
Odtud dostáváme, že
\begin{gather*} 
|\angle O_1AE| = |\angle O_1FE| = |\angle O_1BM|,\\
|\angle FAO_2| = |\angle FEO_2| = |\angle NBO_2|. 
\end{gather*}
Trojúhelníky $O_1AE$ a $O_1BM$ jsou shodné a také trojúhelníky $O_2AF$ a $O_2BN$ jsou shodné, a proto 
\[ |MN| = |MB| + |BN| = |AE| + |AF|. \]
\end{proof}

\begin{prikl}
Označme $K,L,M$ středy, $D, E, F$ po řadě libovolné vnitřní body stran $BC, CA, AB$ trojúhelníku $ABC$ a dále $K', L', M'$ středy úseček $AD, BE$ a $CF$. Dokažte, že přímky $AD, BE$ a $CF$ se protínají v jednom bodě, právě když se v jednom bodě protínají přímky $KK', LL'$ a $MM'$.
\end{prikl}
\begin{proof}[Řešení]
Body $K', L', M'$ leží na středních příčkách $LM, MK, KL$ trojúhelníku $ABC$. Protože střední příčka $LM$ je rovnoběžná se stranou $BC$, plyne z podobnosti trojúhelníků $AMK'$ a $ABD$, resp. $ALK'$ a $ACD$
\begin{equation}\label{e3}
\dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|MK'|}{|K'L|}.
\end{equation}
Cyklickou záměnou dostaneme
\begin{gather}
\dfrac{|CE|}{|EA|} = \dfrac{|KL'|}{|L'M|}, \label{e4}\\
\dfrac{|AF|}{|FB|} = \dfrac{|LM'|}{|M'K|}. \label{e5}
\end{gather}
Vynásobením vztahů \eqref{e3}, \eqref{e4} a \eqref{e5} získáme
\[ \dfrac{|AF|}{|FB|}\cdot \dfrac{|BD|}{|DC|}\cdot \dfrac{|CE|}{|EA|} = \dfrac{|LM'|}{|M'K|} \cdot \dfrac{|MK'|}{|K'L|} \cdot \dfrac{|KL'|}{|L'M|}.  \]
Podle Cevovy věty pro trojúhelník $ABC$ se přímky $AD, BE$ a $CF$ protínají v jednom bodě, právě když platí
\[ \dfrac{|AF|}{|FB|}\cdot \dfrac{|BD|}{|DC|}\cdot \dfrac{|CE|}{|EA|} = 1,\]
tedy právě když
\[ \dfrac{|LM'|}{|M'K|} \cdot \dfrac{|MK'|}{|K'L|} \cdot \dfrac{|KL'|}{|L'M|} = 1.\]
To podle Cevovy věty pro trojúhelník $KLM$ nastane, právě když se v jednom bodě protínají přímky $KK', LL'$ a $MM'$.
\end{proof}

\end{document}