\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}


\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\ce}[1]{\ensuremath{\left(#1 \right)}}	% definice \ce 	- argument bude v kulatych zavorkach
\newcommand{\cce}[1]{\ensuremath{\left[#1 \right]}}	% definice \cce	- argument bude v hranatych zavorkach


\newtheorem*{pr}{Příklad}


\renewcommand{\qedsymbol}{}		% zmena znaku na konci dukazu

\begin{document}
\begin{pr}
Řešte v $\Z$
\[
x^2 + y^2 = z^2.
\]
\end{pr}
\begin{proof}[Řešení]
\begin{itemize}
\item Uvažme řešení $x,y,z$ zadané rovnice a označme $d = \ce{x,y,z}$, pak jistě $\frac{x}{d}, \frac{y}{d}, \frac{z}{d}$ je také řešením zadané rovnice. Můžeme tedy dále předpokládat, že máme řešení $x,y,z$, kde jsou tato čísla po dvou nesoudělná, vždyť společný dělitel libovolných dvou čísel bude dělit i to třetí.
\item Z předchozího víme, že nejvýše jedno číslo bude sudé. Předpokládejme, že $2 \nmid x$ a $2 \nmid y$, pak $x^2 \equiv y^2 \equiv 1 \pmod{8}$. Zejména $z^2 \equiv 2 \pmod{8}$, což je ale spor. Proto bude právě jedno z čísel $x$, $y$ sudé. Úloha symetrická, nechť je to $x$, tedy $x = 2r$.
\item Přepíšeme původní rovnici jako $4r^2 = z^2 - y^2 = \ce{z+y}\ce{z-y}$. Položme
\[
u = \frac{z+y}{2}, \qquad v = \frac{z-y}{2}.
\]
\item Buď $p$ prvočíslo takové, že $p \mid u$, $p \mid v$, pak $p \mid u+v = z$ a $p \mid u-v = y$, což je spor s~nesoudělností $y$, $z$. Proto jsou nutně $u,v$ nesoudělná.
\item Víme $r^2 = \frac{z+y}{2}\cdot\frac{z-y}{2} = uv$. Z nesoudělnosti $u,v$ vidíme, že $u$ i $v$ jsou druhými mocninami, tj. $u = a^2$, $v = b^2$, kde $\ce{a,b} = 1$.
\item Dosadíme do vztahů: $x = 2r$, $y = u-v$, $z = u+v$ a dostáváme
\begin{align*}
x &= 2ab,\\
y &= a^2 - b^2,\\
z &= a^2 + b^2,
\end{align*}
přičemž $\ce{a,b} = 1$, $a,b \in \N$.
\item Ověříme nalezená řešení tím, že dosadíme do původní rovnice:
\[
x^2 + y^2 = 4a^2b^2 + a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 = z^2.
\]
\end{itemize}
\end{proof}
\end{document}