\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\ce}[1]{\ensuremath{\left(#1 \right)}}	% definice \ce 	- argument bude v kulatych zavorkach
\newcommand{\cce}[1]{\ensuremath{\left[#1 \right]}}	% definice \cce	- argument bude v hranatych zavorkach

\newtheorem{pr}{Příklad}
\newtheorem{hint}{Hint}

\renewcommand{\qedsymbol}{}		% zmena znaku na konci dukazu

\begin{document}
\section*{Návodné příklady}
\begin{pr}%[MO - A52ii - 1]
Najděte základy $z$ všech číselných soustav, ve kterých $(41)_z$ dělí $(1001)_z$.
\end{pr}


\vfill

\begin{pr}%[MO - A52i - 4]
Určete všechna přirozená čísla $n>1$ taková, že v některé číselné soustavě o~základu $z \geq 5$ platí následující kritérium dělitelnosti: trojmístné číslo $(abc)_z$ je dělitelné číslem $n$, právě když je číslem $n$ dělitelné číslo $c + 3b - 4a$.
\end{pr}


\vfill


\begin{pr}%[MO - A58i - 3]
Najděte všechny dvojice přirozených čísel $x,y$ takové, že
\[
\frac{xy^2}{x+y}
\]
je prvočíslo.
\end{pr}


\vfill


\begin{pr}%[MO - A58ii - 1]
Hledané čtyřmístné přirozené číslo je dělitelné sedmi. Zapíšeme-li jeho číslice v~opačném pořadí, dostaneme větší číslo, které je také dělitelné sedmi. Navíc při dělení číslem~37 dávají obě zmíněná čtyřmístná čísla stejný zbytek. Určete původní čtyřmístné číslo.
\end{pr}


\vfill


\begin{pr}%[MO - A47ii - 1]
Dokažte, že pro každé přirozené číslo $n$ platí: 
\[
3^{n+3} \mid 1997^{3^n}  +1.
\]
\end{pr}


\vfill


\begin{pr}%[SNMÚ]
Dokažte, že pro každé přirozené číslo $n$ platí:
\[
n \mid \ce{3^n-2} \quad\Rightarrow\quad 3^n -1 \mid \ce{3^{3^n-1}-3}.
\]
\end{pr}


\vfill


\begin{pr}%[MO - A48ii - 1]
Aritmetický průměr několika navzájem různých prvočísel se rovná 27. Určete, jaké největší prvočíslo mezi nimi může být.
\end{pr}
\newpage
\section*{Nápověda k příkladům}
\begin{hint}
Uvědomte si, jak převést číslo zapsané v soustavě o základu $z$ do standardní desítkové soustavy. Podobně jako v desítkové soustavě můžeme rozepsat
\[
1568 = 1 \cdot 10^3 + 5\cdot 10^2 + 6\cdot 10^1 + 8 \cdot 10^0,
\]
lze tuto úvahu snadno zobecnit pro libovolný základ $z \in \N$
\[
(1568)_{z} = z^3 + 5z^2 + 6z + 8.
\]
Dále můžete využít Euklidův algoritmus.
\end{hint}


\vfill


\begin{hint}
Podobně jako v předchozím využijte přepisu původního čísla do desítkové soustavy. Protože se jedná o kritérium dělitelnosti, musí platit pro všechna $(abc)_z$. Vhodnou volbou cifer $a,b,c$ lze získat některá čísla, která $n$ musí dělit. 
\end{hint}


\vfill


\begin{hint}
Uvažme $m,n \in \Z$ taková, že $\ce{m,n} = 1$, kde $\ce{m,n}$ značí největšího společného dělitele čísel $m$, $n$. Pak platí
\[
\ce{m,m+n} = 1\qquad \text{a} \qquad \ce{m^2, m+n} = 1.
\]
\end{hint}


\vfill


\begin{hint}
Uvědomte si, že čísla $m,n$ dávají stejný zbytek po dělení číslem $k$ právě tehdy, když $k$ dělí jejich rozdíl.
\end{hint}


\vfill


\begin{hint}
Zápis $a^{b^c}$ lze zapsat s využitím závorek jako $a^{\ce{b^c}}$. Dále lze například využít vztahů
\begin{gather*}
a^{b+1} = a\cdot a^b,\\
a^{b\cdot c} = \ce{a^b}^c = \ce{a^{c}}^b,\\
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2).
\end{gather*}
\end{hint}


\vfill


\begin{hint}
Využijte následující definice dělitelnosti pro celá čísla $a,b$:\\
Řekneme, že číslo $a$ dělí číslo $b$, píšeme $a \mid b$, jestliže existuje $k \in \Z$ takové, že $a\cdot k = b$.
\end{hint}


\vfill


\begin{hint}
Nalezněte horní hranici, pro hledané prvočíslo (tj. omezte ho shora). Je možné, aby v uvažovaném aritmetickém průměru mohla být všechna \uv{malá} prvočísla?
\end{hint}
\end{document}