\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
%\usepackage{mathpazo, tgpagella}				% alternativni font matematiky
\usepackage{amsmath}
%\usepackage[leqno]{amsmath}					% cislovani rovnic vlevo
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}



%\usepackage{paralist}						% rozsirene moznosti vyctovych prostredi, prostredi compactitem, compactenum
%\usepackage{array}						% rozsirujici balik pro tabulky
%\usepackage{bigstrut}						% vertikalni mezera v tabulce, prikaz \bigstrut
%\usepackage{multirow}						% bunka do vice radku \multirow{pocet radku}{sirka}{text}
%\usepackage{dcolumn}						% desetinna cisla v tabulce, definuje sloupec D{}{}{}
%\usepackage{shtabularlines}					% silnejsi cary v tabulce, \shhline[width], \shvline[width], \shcline[width]{sloupce}
%\usepackage{tabularx}						% definuje sloupec X

%\newcommand{\dx}{\,\mathrm{d}x}				% definice \dx
%\newcommand{\dt}{\,\mathrm{d}t}				% definice \dt

\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\ce}[1]{\ensuremath{\left(#1 \right)}}	% definice \ce 	- argument bude v kulatych zavorkach
\newcommand{\cce}[1]{\ensuremath{\left[#1 \right]}}	% definice \cce	- argument bude v hranatych zavorkach

%\DeclareMathOperator{\tg}{tg}				% definice \tg{}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}				% odsazeni v tabulkach
%\linespread{1.05}						% pro alternativni font

\newtheorem{pr}{Příklad}
%\newtheorem{veta}{Věta}[section]				% pro tridu article, u report se section upravi na chapter
%\newtheorem{lemma}[veta]{Lemma}
%\theoremstyle{definition}
%\newtheorem{definition}{Definice}
%\theoremstyle{remark}
%\newtheorem*{pozn}{Poznámka}

\renewcommand{\qedsymbol}{}		% zmena znaku na konci dukazu

\begin{document}
\begin{pr}[SNMÚ]
Uvažte dvě přirozená čísla $(15)_z$ a $(26)_z$ zapsaná v číselné soustavě o základu~$z$, kde $z \geq 7$ je přirozené číslo. Určete všechny hodnoty $z$, pro něž jsou čísla $(15)_z$ a $(26)_z$ nesoudělná.
\end{pr}
%\begin{proof}[Řešení]

%\end{proof}
\begin{pr}[MO - A52ii - 1]
Najděte základy $z$ všech číselných soustav, ve kterých $(41)_z$ dělí $(1001)_z$.
\end{pr}


\begin{pr}[MO - A52i - 4]
Určete všechna přirozená čísla $n>1$ taková, že v některé číselné soustavě o~základu $z \geq 5$ platí následující kritérium dělitelnosti: trojmístné číslo $(abc)_z$ je dělitelné číslem $n$, právě když je číslem $n$ dělitelné číslo $c + 3b - 4a$.
\end{pr}
% zajímavá úloha č. 6 tamtéž

\begin{pr}[MO - A51iii - 3]
Dokažte, že dané přirozené číslo $A$ je druhou mocninou některého přirozeného čísla, právě když pro každé přirozené $n$ je aspoň jeden z rozdílů
\begin{gather*}
(A+1)^2 - A,\\
(A+2)^2 - A,\\
(A+3)^2 - A,\\
\vdots\\
(A+n)^2 - A
\end{gather*}
dělitelný číslem $n$.
\end{pr}


\begin{pr}[MO - A54ii - 2]
V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic
\begin{align*}
x\ce{y+z+1} &= y^2 + z^2 - 5,\\
y\ce{z+x+1} &= z^2 + x^2 -5,\\
z\ce{x+y+1} &= x^2 + y^2 -5.
\end{align*}
\end{pr}

\begin{pr}[MO - A54ii - 4]
Najděte všechny dvojice přirozených čísel, jejichž součet má poslední cifru 3, rozdíl je prvočíslo a součin je druhou mocninou přirozeného čísla.
\end{pr}


\begin{pr}[MO - A58i - 3]
Najděte všechny dvojice přirozených čísel $x,y$ takové, že
\[
\frac{xy^2}{x+y}
\]
je prvočíslo.
\end{pr}


\begin{pr}[MO - A58ii - 1]
Hledané čtyřmístné přirozené číslo je dělitelné sedmi. Zapíšeme-li jeho číslice v opačném pořadí, dostaneme větší číslo, které je také dělitelné sedmi. Navíc při dělení číslem 37 dávají obě zmíněná čtyřmístná čísla stejný zbytek. Určete původní čtyřmístné číslo.
\end{pr}


\begin{pr}[MO - A59ii - 3]
Určete všechna přirozená čísla $m$, $n$ taková, že $n \mid 2m-1$ a $m \mid 2n-1$.
\end{pr}


\begin{pr}
Řešte následující diofantické rovnice
\begin{align*}
2^x &= 1 + 3^y && \text{v } \Z^2\\
x+y+z &= xyz && \text{v } \N^3\\
6(x-y) &= xy && \text{v } \N^2\\
y^3 - x^3 &= 91 && \text{v } \Z^2\\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} &= \frac{1}{p} && \text{v } \Z^2, \text{ kde }p \text{ je prvočíselný parametr}
\end{align*}
\end{pr}

\begin{pr}[MO - A47i - 1]
Dokažte: $\forall n \in \N\colon 2^{n+2} \mid 2013^{2^n} - 1 \wedge 2^{n+3} \nmid 2013^{2^n} -1$.
\end{pr}

\begin{pr}[MO - A47ii - 1]
Dokažte: $3^{n+3} \mid 1997^{3^n}  +1$.
\end{pr}

\begin{pr}[MO - A48ii - 1]
Aritmetický průměr několika navzájem různých prvočísel se rovná 27. Určete, jaké největší prvočíslo mezi nimi může být.
\end{pr}

\begin{pr}[SNMÚ]
Dokažte: $\forall n \in \N \colon n \mid 3^n-2 \Rightarrow 3^n -1 \mid 3^{3^n-1}-3$.
\end{pr}


\begin{pr}[SNMÚ]
Najděte všechny pravoúhlé trojúhelníky s obvodem 180, jejichž délky stran jsou vyjádřeny přirozenými čísly.
\end{pr}
%http://mfi.upol.cz/old/zajulohy/zajul15_8.pdf

\begin{pr}
Dokažte, že číslo $5^n + 7^n + 13^n$ je složené pro každé přirozené číslo $n$.
\end{pr}
% http://mfi.upol.cz/old/zajulohy/MAT21_02.pdf

\begin{pr}
Dokažte, že v posloupnosti $\ce{2^n-3}_{n=0}^{\infty}$ je nekonečně mnoho násobků $5$ a nekonečně mnoho násobků $13$, ale žádný násobek $65$.
\end{pr}

%\begin{pr}
%Dokažte, že
%\[
%\sqrt[3]{2+\frac{10}{\sqrt{27}}} + \sqrt[3]{2-\frac{10}{\sqrt{27}}}
%\]
%je přirozené číslo.
%\end{pr}
\end{document}