\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}


\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\ce}[1]{\ensuremath{\left(#1 \right)}}	% definice \ce 	- argument bude v kulatych zavorkach
\newcommand{\cce}[1]{\ensuremath{\left[#1 \right]}}	% definice \cce	- argument bude v hranatych zavorkach


\newtheorem*{pr}{Příklad}


\renewcommand{\qedsymbol}{}		% zmena znaku na konci dukazu

\begin{document}
\begin{pr}
Řešte v $\N$
\[
x^4 + y^4 = z^2.
\]
\end{pr}
\begin{proof}[Řešení]
Budeme chtít dokázat, že žádné řešení neexistuje. Předpokládejme sporem, že máme řešení $x,y,z$, kde hodnota $z$ je nejmenší mezi všemi řešeními. Pak nutně $(x,y,z) = 1$, a tedy právě jedno z čísel $x,y,z$ je sudé. Při pohledu na rovnici modulo 4 vidíme, že to nemůže být $z$. Ze symetrie rovnice vzhledem k $x$ a $y$ můžeme předpokládat, že $2 \mid x$. Upravíme rovnici do tvaru
\[
\big(x^2 \big)^2 + \big(y^2\big)^2 = z^2.
\]
Dostáváme, že trojice $x^2, y^2, z$ je řešením Pythagorovy rovnice, je tedy tvaru
\begin{align*}
x^2 &= 2ab,\\
y^2 &= a^2 - b^2,\\
z &= a^2 + b^2.
\end{align*}
Druhá rovnice je opět Pythagorejská
\[
a^2 = b^2 + y^2,
\]
kde $(a,b) = 1$. Protože $ 2 \nmid y$, můžeme opět určit tvar řešení této rovnice jako
\begin{align*}
a &= r^2 + s^2,\\
b &= 2rs,\\
c &= r^2 - s^2,
\end{align*}
kde $(r,s) = 1$. Dosadíme
\begin{align*}
x^2 &= 2ab = 4rs(r^2 + s^2),\\
\ce{\frac{x}{2}}^2 = rs \cdot (r^2 + s^2).
\end{align*}
Protože $(r,s) = 1$, tak také $(r, s^2) = (r, r^2 + s^2) = 1$ a podobně $(s, r^2 + s^2) = 1$. Tedy čísla $r, s, (r^2  + s^2)$ jsou po dvou nesoudělná. Protože se však součin těchto čísel rovná druhé mocnině přirozeného čísla, musí být každé z těchto čísel druhou mocninou. Tedy existují $u,v,w$ takové, že
\begin{align*}
r &= u^2,\\
s & = v^2,\\
r^2+s^2 &= w^2.
\end{align*}
Dosazením za $r$ a $s$ do poslední rovnice dostáváme
\[
u^4 + v^4 = w^2,
\]
kde
\[
w < w^2 = r^2 + s^2 = a < a^2 + b^2 = z.
\]
Dostáváme spor s minimalitou $z$. Úloha tedy nemá řešení.
\end{proof}
\end{document}